Индексирование сжатого текста: различия между версиями

Пусть дана ''текстовая строка'' <math>T = t_1 t_2... t_n</math> над алфавитом <math>\Sigma</math> размера <math>\sigma</math>. Задача ''индексирования сжатого текста'' (compressed text indexing, CTI) заключается в ''замене'' строки T экономичной по памяти структурой данных, способной эффективно отвечать на основные запросы по сравнению строк и подстрок над T. Примеры типичных запросов, требующих ответов с использованием подобного индекса:

Изящное решение задачи достигается за счет применения комбинации ''преобразования Барроуза-Уилера'' (Burrows-Wheeler Transform, BWT) [1] и структуры данных в виде суффиксного массива [9]. Суффиксный массив SA[1, n] строки T представляет собой перестановку текстовых позиций (1...n), в которой ''суффиксы'' T[i, n] перечислены в лексикографическом порядке. Таким образом, T[SA[i], n] – наименьший i-й суффикс. BWT определяется (1) перестановкой <math>T^{bwt}</math> строки T, определяемой как <math>T^{bwt}[i] = T[SA[i] - 1]</math>, где T[0] = T[n], и (2) числом <math>i^* = SA^{-1}</math>[1].

BWT обладает свойством, заключающимся в том, что символы, имеющие одинаковый контекст (т. е. строки, следующие за ними в T), в <math>T^{bwt}</math> являются последовательными. Это упрощает сжатие <math>T^{bwt}</math>, достигая объема памяти, близкого к эмпирическим энтропиям высокого порядка [10]. С другой стороны, суффиксный массив является универсальным текстовым индексом, позволяющим, например, вести подсчет запросов за время O(m log n) (с использованием двух операций бинарного поиска в массиве SA), после чего можно локализовать вхождения за оптимальное время.

Ферраджина и Манзини [3] обнаружили способ объединить высокую сжимаемость BWT и индексирующие свойства суффиксного массива. Структура, в сущности, представляет собой сжатое представление BWT плюс некоторые небольшие дополнительные структуры, делающие его пригодным для поиска.

Сначала мы обратимся к извлечению произвольных подстрок из этого сжатого текстового представления, а затем рассмотрим возможности поиска. Для извлечения из структуры всего текста (то есть для поддержки отображения(1, n)) достаточно инвертировать BWT. Для этого рассмотрим таблицу LF[1, n], определенную таким образом, что если выполнить перестановку T[i] в <math>T^{bwt}[j]</math>, а T[i - 1] – в <math>T^{bwt}[j']</math>, то LF[j] = j'. После этого можно сразу же извлечь T ''в обратном порядке'', напечатав <math>T^{bwt}[i^*] \cdot T^{bwt}[LF[i^*]] \cdot T^{bwt}[LF[LF[i^*]]]</math>... (по определению <math>T^{bwt}[i^*]</math> соответствует T[n]).

'''Лемма 1 (Ферраджина и Манзини, 2005 [3])'''. <math>LF[i] = C(c) + rank_c(i)</math>, где <math>c = T^{bwt}[i]</math>, C(c) сообщает, сколько раз в <math>T^{bwt}</math> встречаются символы меньше c, а <math>rank_c(i)</math> – сколько раз символ c встречается в <math>T^{bwt}[1, i]</math>.

Запросы display(i, j) общего вида основываются на  регулярной выборке из текста. Каждая текстовая позиция вида <math>j' \cdot s</math>, где s – частота дискретизации, хранится вместе с <math>SA^{-1} [j \cdot s]</math>, на которую указывает позиция суффиксного массива. Для выполнения запроса display(i, j) мы начинаем с наименьшей выбранной текстовой позиции <math>j' \cdot s > j</math> и применяем обращение процедуры BWT, начиная с <math>SA^{-1} [j \cdot s]</math> вместо i*. Это дает нам символы с <math>j' \cdot s - 1</math> до i в обратном порядке и требует не более j - i + s шагов.

Кроме того, оказывается, что то же самое двухкомпонентное выражение LF[i] позволяет эффективно выполнять запросы типа count(P). Идея заключается в том, что если известен диапазон суффиксного массива, скажем <math>SA[sp_i, ep_i]</math>, такого что единственными суффиксами, содержащими P[i, m] в качестве префикса, являются суффиксы <math>T[SA[sp_i], n], T[SA[sp_i + 1], n], ..., T[SA[ep_i], n]</math>, то новый диапазон <math>SA[sp_{i - 1}, ep_{i - 1}]</math>, суффиксы которого содержат P[i – 1, m] в качестве префикса, можно вычислить следующим образом: <math>sp_{i - 1} = C(P[i - 1]) + rank_{p_{[i - 1]}}(sp_i - 1) + 1</math> и <math>ep_{i - 1} = C(P[i - 1]) + rank_{p_{[i- 1]}}(ep_i)</math>. После этого достаточно просканировать шаблон ''в обратном порядке'' и вычислить значения C() и <math>rank_c()</math> 2m раз, чтобы определить (возможно, пустой) диапазон суффиксного массива, в котором все суффиксы начинаются с полной P. Возврат <math>ep_1 - sp_1 + 1</math> отвечает на запрос count(P), вообще не требуя наличия суффиксного массива.

Теперь рассмотрим потребность в памяти. Значения C() можно тривиально хранить в таблице размером <math>\sigma \; log_2 \; n</math> бит. <math>T^{bwt}[i]</math> можно вычислить за время <math>O(\sigma)</math> путем проверки, для какого c выполняется утверждение <math>rank_c(i) \ne rank_c(i - 1)</math>. Частоту выборки можно взять в виде <math>s = \Theta(log^{1 + \epsilon} \; n)</math>, так что для выборок потребуется o(n) бит. Единственная реальная проблема заключается в предварительной обработке текста для запросов <math>rank_c()</math>. В последние годы в этой области велись интенсивные исследования и было предложено множество решений. Первый предложенный алгоритм строит несколько маленьких структур данных с частичной суммой поверх сжатого BWT и достигает следующего результата:

Исходный FM-индекс налагает серьезные ограничения на размер алфавита. В последующих работах эти ограничения были устранены. С концептуальной точки зрения самый простой способ добиться более дружественного к алфавитам экземпляра FM-индекса заключается в построении ''дерева вейвлетов'' [5] на <math>T^{bwt}</math>. Это бинарное дерево над алфавитом <math>\Sigma</math>, устроенное таким образом, что каждый узел v обрабатывает подмножество алфавита S(v), которое делит между своими детьми. Корень обрабатывает <math>\Sigma</math>, а каждый лист обрабатывает один символ. Каждый узел v кодирует такие позиции i таким образом, что <math>T^{bwt}[i] \in S(v)</math>. Для этих позиций в узле v хранится только битовый вектор, указывающий, какая из них направляется налево, а какая – направо. Битовые векторы узла предварительно обрабатываются для выполнения запросов <math>rank_1()</math> за константное время, используя o(n)-битные структуры данных [6, 12]. Гросси и др. [4] показали, что дерево вейвлетов, построенное с использованием кодировки [12], занимает <math>nH_0 + o(n \; log \; \sigma)</math> бит. После этого легко смоделировать один запрос <math>rank_c()</math> при помощи <math>log_2 \; \sigma</math> запросов <math>rank_1()</math>. С теми же затратами можно получить <math>T^{bwt}[i]</math>. Более поздние усовершенствования улучшили требования по времени, позволив получить, например, следующий результат:

'''Теорема 4 ([Ферраджина и др. [4]). Задача CTI может быть решена с помощью так называемого дружественного к алфавитам FM-индекса (Alphabet-Friendly FM-Index, AF-FMI) размером <math>nH_k + o(n \; log \; \sigma)</math> бит, имеющего ту же временную сложностьи те же ограничения, что и SSA, при <math>k \le \alpha \; log_{\sigma}\; n</math> для любого константного <math>0 < \alpha < 1</math>.'''

Недавно проведенный анализ [8] показал, что требования к памяти простого алгоритма SSA ограничены тем же количеством бит <math>nH_k + o(n \; log \; \sigma)</math>, что теоретически делает подход на базе форсирования для достижения того же результата излишним. На практике реализации в работах [4, 7] намного превосходят реализации, построенные непосредственно на этой упрощенной идее.

Сайт Pizza-Chili (http://pizzachili.dcc.uchile.cl или http://pizzachili.di.unipi.it) содержит подборку стандартизированных реализаций библиотек, а также наборы данных и рещультаты экспериментальных сравнений.