Сортировка при помощи транспозиций и обращений (коэффициент аппроксимации 1,5)

Ключевые слова и синонимы

Перестройка генома

Постановка задачи

Одним из наиболее многообещающих способов определения эволюционного расстояния между двумя организмами является сравнение порядка появления идентичных (например, ортологичных) генов в их геномах. Соответствующая задача перестройки генома заключается в нахождении кратчайшей последовательности операций перегруппировки, при помощи которых один геном можно перестроить в другой. В работе [8] Хартман и Шаран предложили алгоритм 1,5-аппроксимации для решения задачи сортировки при помощи транспозиций, транспозиций-обращений и двойных обращений, улучшив ранее полученный коэффициент аппроксимации для этой задачи. Их алгоритм также работает быстрее современных аналогов, требуя [math]\displaystyle{ O(n^{3/2} \sqrt{log \; n}) }[/math] времени для n генов.

Нотация и определение

Перестановка со знаками [math]\displaystyle{ \pi = [ \pi_1, \pi_2, ..., \pi_n] }[/math] на [math]\displaystyle{ n (\pi) = n }[/math] элементах представляет собой перестановку, в которой каждому элементу присвоен знак – плюс или минус. Сегментом [math]\displaystyle{ \pi }[/math] является последовательность последовательных элементов [math]\displaystyle{ \pi_i, \pi_{i + 1}, ..., \pi_k }[/math], где [math]\displaystyle{ 1 \le i \le k \le n }[/math]. Обращение [math]\displaystyle{ \rho }[/math] представляет собой операцию, которая меняет порядок элементов в сегменте на противоположный и при этом переключает их знаки. Два сегмента [math]\displaystyle{ \pi_i, \pi_{i + 1}, ..., \pi_k }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_j, \pi_{j + 1}, ..., \pi_l }[/math], называются смежными, если j = k + 1 или i = l + 1. Транспозиция [math]\displaystyle{ \tau }[/math] представляет собой операцию, переставляющую друг с другом два смежных (непересекающихся) сегмента. Транспозиция-обращение (transreversal) [math]\displaystyle{ \tau \rho_{A, B} }[/math] ([math]\displaystyle{ \tau \rho_{B, A} }[/math], соответственно) представляет собой транспозицию, которая переставляет два сегмента A и B и при этом выполняет обращение A (соответственно, B). Операция двойного обращения (revrev) [math]\displaystyle{ \rho \rho }[/math] выполняет обращение каждого из двух смежных сегментов (без перестановки их друг с другом). Задача нахождения кратчайшей последовательности операций транспозиции, транспозиции-обращения и двойного обращения, преобразующей заданную перестановку в тождественную, называется задачей сортировки при помощи транспозиций, транспозиций-обращений и двойных обращений. Длина кратчайшей сортирующей последовательности обращений называется расстоянием обращения [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и обозначается как [math]\displaystyle{ d(\pi) }[/math].

Рисунок 1. (a) Эквивалентность операций transreversal и revrev на циклических перестановках. (b) Граф разрывов [math]\displaystyle{ G(\pi) }[/math] перестановки [math]\displaystyle{ \pi = [1, -4, 6, -5, 2, -7, -3] }[/math], для которого [math]\displaystyle{ f(\pi) = [1, 2, 8, 7, 11, 12, 10, 9, 3, 4, 14, 13, 6, 5] }[/math]. [math]\displaystyle{ G(\pi) }[/math] удобно изображать на круге таким образом, что его черные ребра (т. е. толстые линии) располагаются на окружности, а серые (т. е. тонкие) являются хордами

Основные результаты

Линейные или циклические перестановки

Операция действует как на затронутые сегменты, так и на элементы этих сегментов. Две операции ji и fi' эквивалентны, если они имеют один и тот же результат перегруппировки, т.е. fi-ж = fi' -ж для всех ж. В работе [8] Хартман и Шаран показали, что для элемента x циклической перестановки ж и операции ji, действующей на x, существует эквивалентная операция ji', не действующая на x. Основываясь на этом свойстве, они доказали, что задача сортировки при помощи транспозиций, транспозиций-обращений и двойных обращений эквивалентна линейным и циклическим перестановкам. Кроме того, они заметили, что операции транспозиций-обращений и двойных обращений являются эквивалентными для циклических перестановок (как показано на рис. 1a), из чего следует, что задача сортировки линейной или циклической перестановки при помощи транспозиций, транспозиций-обращений и двойных обращений может быть сведена к задаче сортировки циклической перестановки при помощи транспозиций и транспозиций-обращений.

Граф разрывов

Пусть дана перестановка со знаками ж на множестве f1; 2 ng n элементов. Ее можно преобразовать в перестановку без знаков f{n) = Ti' = [n[,Ti!1,...,Ti!ln\ на множестве {1,2,...,2и} 2 и элементов путем замены каждого положительного элемента i двумя элементами 2i – 1, 2i (именно в таком порядке), а каждого отрицательного элемента -i – двумя элементами 2i, 2i - 1. Расширенная перестановка /(ж) здесь рассматривается как циклическая перестановка при помощи определения 2 n + 1 и 1 в индексах и элементах. Чтобы гарантировать, что каждая операция на /(ж) может быть имитирована операцией на ж, для f{ji) допускаются только операции, выполняющие разрезание перед нечетными позициями. Граф разрывов G(n) представляет собой граф с раскрашенными ребрами с 2n вершинами f1;2;:::; 2ng, в котором для любого 1 < i: < n вершина ji'2i соединяется с ж'21+1 ребром черного цвета, а вершина 2i присоединяется с 2i + 1 ребром серого цвета (см. пример на рис. 1b). Поскольку степень каждой вершины в G(JI) в точности равна 2, G(JI) уникальным образом разбивается на циклы. k-cycle (то есть цикл длины k) представляет собой цикл с k черными ребрами и является нечетным, если k нечетно. Обозначим количество нечетных циклов в G(JI) за со^(ж). Несложно убедиться в том, что G(TI) состоит из n 1-циклов и, следовательно, со^(ж) = n, если ж является тождественной перестановкой [1; 2... n ]. Гу и др. [ ] показали, что сосу(/х • ж) < сосу(тг) + 2 для всех линейных перестановок ж и операций ji. В работе [ ] Хартман и Шаран также отметили, что вышеприведенный результат имеет мест отакже для циклических перестановок, и доказали, что нижняя граница d(jr) составляет (и(лг) - соМ(ж))/2.

Преобразование в 3-перестановки