Полностью динамическая связность высоких степеней

Ключевые слова и синонимы

Полностью динамическая реберная связность; полностью динамическая вершинная связность

Постановка задачи

Задача заключается в эффективной поддержке информации о реберной и вершинной связности в динамически меняющемся графе.

Пусть даны неориентированный граф G = (V, E) и целое число [math]\displaystyle{ k \ge 2 }[/math]. Пара вершин {u, v} называется k-реберно-связной, если при удалении любых (k — 1) ребер графа G вершины u и v остаются связанными. Нетрудно заметить, что в данном случае имеет место отношение эквивалентности: вершины графа G этим отношением разбиваются на классы эквивалентности, называемые k-реберно-связными компонентами. Граф G называется k-реберно-связным, если при удалении любых (k — 1) ребер G сохраняет связность. Согласно этим определениям, граф G является k-реберно-связным в том и только том случае, если любые две вершины G являются k-реберно-связными. Множество ребер [math]\displaystyle{ E' \subseteq E \; }[/math] является реберным разрезом для вершин x и y, если удаление всех ребер, входящих в E', разбивает G на два графа, один из которых содержит x, а другой – y. Множество ребер [math]\displaystyle{ E' \subseteq E \; }[/math] является реберным разрезом для G, если удаление всех ребер, входящих в E', разбивает G на два графа. Реберный разрез E' графа G (для x и y, соответственно) является минимальным, если удаление любого ребра из E' восстанавливает связность G (x и y, соответственно). Мощность реберного разреза E', обозначаемая |E'|, задается числом ребер в E'. Реберный разрез E' графа G (вершин x и y, соответственно) называется реберным разрезом минимальной мощности или, вкратце, реберным разрезом связности, если не существует другого реберного разреза E" графа G (x и y, соответственно), такого, что |E"| < |E'|. Реберные разрезы связности, разумеется, являются минимальными реберными разрезами. Заметим, что G является k-реберно-связным в том и только том случае, если реберный разрез связности для G содержит не менее k ребер, а вершины x и y являются k-реберно-связными в том и только том случае, если реберный разрез связности для x и y содержит не менее k ребер. Реберный разрез связности, мощность которого равна 1, называется мостом.

Следующая теорема, которую предложили Форд и Фулкерсон, а также Элиас, Файнштайн и Шеннон [7], дает еще одну характеристику k-реберной-связности.

Теорема 1 (Форд и Фулкерсон; Элиас, Файнштайн и Шеннон). Пусть даны граф G и две вершины x и y, принадлежащие G. Вершины x и y являются k-реберно-связными в том и только том случае, если между x и y имеется не менее k путей с непересекающимися ребрами.

Подобным же образом, множество вершин [math]\displaystyle{ V' \subseteq V - \{ x, y \} }[/math] называется вершинным разрезом для вершин x и y, если удаление всех вершин V' разрывает связь между x и y. [math]\displaystyle{ V' \subseteq V \; }[/math] является вершинным разрезом для вершин графа G, если удаление всех вершин V' разбивает G.

Мощность вершинного разреза V', обозначаемая |V'|, задается числом ребер в V'. Вершинный разрез V' для x и y называется вершинным разрезом минимальной мощности или, вкратце, вершинным разрезом связности, если не существует другого вершинного разреза V" для x и y, такого, что |V"| < |V'|. Тогда x и y являются k-вершинно-связными в том и только том случае, если вершинный разрез связности для x и y содержит не менее k вершин. Граф G называется k-вершинно-связным, если все его пары вершин являются k-вершинно-связными. Вершинный разрез связности, мощность которого равна 1, называется точкой сочленения; вершинный разрез связности мощности 2 называется парой разделителей. Заметим, что для связности по вершинам уже неверно утверждение о том, что вершинный разрез связности разбивает граф G на два множества вершин.

Следующая теорема, предложенная Менгером [7], дает еще одну характеристику k-вершинной связности.

Теорема 2 (Менгер). Пусть даны граф G и две вершины x и y, принадлежащие G. Вершины x и y являются k-вершинно-связными в том и только том случае, если между x и y имеется не менее k вершинно-непересекающихся путей.

Динамический алгоритм на графе поддерживает заданное свойство P графа, подверженного динамическим изменениям – таким как вставка ребра, удаление ребра и обновление веса ребра. Динамический алгоритм должен быстро обрабатывать запросы о свойстве P, а также выполнять операции обновления быстрее, чем вычислять то же самое с нуля при помощи самого быстрого статического алгоритма. Алгоритм называется полностью динамическим, если он поддерживает как вставку ребер, так и удаление ребер. Частично динамический алгоритм поддерживает либо вставку, либо удаление ребер; инкрементный алгоритм поддерживает только вставку ребер, декрементный – только удаление.

В полностью динамической задаче k-реберной связности нам требуется поддержка неориентированного графа G = (V, E) и выполнение последовательности следующих операций в различном порядке:

• k-EdgeConnected(u, v): возвращает значение «истинно», если вершины u и v принадлежат к одной и той же k-реберно-связной компоненте графа, в противном случае возвращает значение «ложно».

• Insert(x, y): вставляет новое ребро между вершинами x и y.

• Delete(x,y): удаляет ребро между вершинами x и y.

В полностью динамической задаче k-вершинной связности нам требуется поддержка неориентированного графа G = (V, E) и выполнение последовательности следующих операций в различном порядке:

• k-VertexConnected(u, v): возвращает значение «истинно», если вершины u и v принадлежат к одной и той же k-вершинно-связной компоненте графа, в противном случае возвращает значение «ложно».

• Insert(x, y): вставляет новое ребро между вершинами x и y.

• Delete(x,y): удаляет ребро между вершинами x и y.

Основные результаты

Наиболее эффективные на данный момент полностью динамические алгоритмы вычисления k-реберной и k-вершинной связности были предложены в работах [3] и [12]. Время исполнения характеризуется следующими теоремами.

Теорема 3. Полностью динамическая задача k-реберной связности может быть решена за время:

1. [math]\displaystyle{ O(log^4 \; n) }[/math] на одно обновление и [math]\displaystyle{ O(log^3 \; n) }[/math] на один запрос для k = 2

2. [math]\displaystyle{ O(n^{2/3}) \; }[/math] на одно обновление или один запрос для k = 3

3. [math]\displaystyle{ O(n \alpha (n)) \; }[/math] на одно обновление или один запрос для k = 4

4. [math]\displaystyle{ O(n \; log \; n) }[/math] на одно обновление или один запрос для k > 5.

Теорема 4. Полностью динамическая задача k-вершинной связности может быть решена за время:

1. [math]\displaystyle{ O(log^4 \; n) }[/math] на одно обновление и [math]\displaystyle{ O(log^3 \; n) }[/math] на один запрос для k = 2

2. [math]\displaystyle{ O(n) \; }[/math] на одно обновление или один запрос для k = 3

3. [math]\displaystyle{ O(n \alpha (n)) \; }[/math] на одно обновление или один запрос для k = 4.

Применение

Задачи вершинной и реберной связности часто возникают в вопросах, связанных с надежностью и живучестью сетей. В компьютерных сетях вершинная связность графов, лежащих в их основе, соответствует наименьшему числу узлов, падение которых еще не приведет к потере связности всей сети. Подобным же образом, реберная связность графов соответствует наименьшему числу связей, падение которых еще не вызовет потери связности всей сети. Аналогично, если две вершины являются k-вершинно-связными, они останутся связанными даже при отказе до (k – 1) других вершин, а если они являются k-реберно-связными, они «переживут» отказ до (k – 1) связей. Важно изучать динамические версии этих задач в контекстах, где сети динамически меняются – например, в случаях, когда связи могут нарушаться и восстанавливаться из-за отказов и ремонтов.

Открытые вопросы

Эпстайн и коллеги [3], а также Холм и коллеги [12] поднимают интересные вопросы. Во-первых, если эффективные динамические алгоритмы вычисления k-реберной связности для общих значений k известны, то для вычисления k-вершинной связности при [math]\displaystyle{ k \ge 5 \; }[/math] эффективных полностью динамических алгоритмов еще не создано – более того, нет даже статических. Во-вторых, полностью динамические задачи 2-реберной и 2-вершинной связности могут быть решены за полилогарифмическое время на одно обновление, тогда как наилучшие известные границы обновления для реберной и вершинной связности более высоких степеней являются полиномиальными. Остается открытым вопрос, можно ли сократить этот разрыв – иначе говоря, можно ли разработать полилогарифмические алгоритмы для полностью динамических задач 3-реберной и 3-вершинной связности.

См. также

• Динамические деревья
• Полностью динамический алгоритм нахождения кратчайших путей между всеми парами
• Полностью динамическая связность
• Полностью динамическая высокая связность в планарных графах
• Полностью динамические минимальные остовные деревья
• Полностью динамическая проверка на планарность
• Полностью динамический алгоритм транзитивного замыкания

Литература

1. Dinitz, E.A.: Maintaining the 4-edge-connected components of a graph on-line. In: Proc. 2nd Israel Symp. Theory of Computing and Systems, 1993, pp. 88-99

2. Dinitz, E.A., Karzanov A.V., Lomonosov M.V.: On the structure of the system of minimal edge cuts in a graph. In: Fridman, A.A. (ed) Studies in Discrete Optimization, pp. 290-306. Nauka, Moscow (1990). In Russian

3. Eppstein, D., Galil Z., Italiano G.F., Nissenzweig A.: Sparsification - a technique for speeding up dynamic graph algorithms. J. Assoc. Comput. Mach. 44(5), 669-696 (1997)

4. Frederickson, G.N.: Ambivalent data structures for dynamic 2-edge-connectivity and k smallest spanning trees. SIAM J. Comput. 26(2), 484-538 (1997)

5. Galil, Z., Italiano, G. F.: Fully dynamic algorithms for 2-edge-connectivity. SIAM J. Comput. 21,1047-1069 (1992)

6. Galil, Z., Italiano, G.F.: Maintaining the 3-edge-connected components of a graph on-line. SIAM J. Comput. 22,11-28 (1993) Harary, F.: Graph Theory. Addison-Wesley, Reading (1969)

7. Harary, F.: Graph Theory. Addison-Wesley, Reading (1969)

8. Henzinger, M.R.: Fully dynamic biconnectivity in graphs. Algorithmica 13(6), 503-538 (1995)

9. Henzinger, M.R.: Improved data structures for fully dynamic biconnectivity. SIAM J. Comput. 29(6), 1761–1815 (2000)

10. Henzinger, M., King V.: Fully dynamic biconnectivity and transitive closure. In: Proc. 36th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS'95), 1995, pp. 664-672

11. Henzinger, M.R., King, V.: Randomized fully dynamic graph algorithms with polylogarithmic time per operation. J. ACM 46(4),502-516(1999)

12. Holm, J., de Lichtenberg, K., Thorup, M.: Poly-logarithmic deterministic fully-dynamic algorithms for connectivity, minimum spanning tree, 2-edge, and biconnectivity. J. ACM 48,723-760 (2001)

13. Karzanov, A.V., Timofeev, E. A.: Efficient algorithm for finding all minimal edge cuts of a nonoriented graph. Cybernetics 22, 156-162(1986)

14. La Poutre, J.A.: Maintenance of triconnected components of graphs. In: Proc. 19th Int. Colloquium on Automata, Languages and Programming. Lecture Notes in Computer Science, vol. 623, pp. 354-365. Springer, Berlin (1992)

15. La Poutre, J.A.: Maintenance of 2- and 3-edge-connected components of graphs II. SIAM J. Comput. 29(5), 1521 -1549 (2000)

16. La Poutre, J.A., van Leeuwen, J., Overmars, M.H.: Maintenance of 2- and 3-connected components of graphs, part I: 2- and 3-edge-connected components. Discret. Math. 114, 329-359 (1993)

17. La Poutre, J.A., Westbrook, J.: Dynamic two-connectivity with backtracking. In: Proc. 5th ACM-SIAM Symp. Discrete Algorithms, 1994, pp. 204-212

18. Westbrook, J., Tarjan, R.E.: Maintaining bridge-connected and biconnected components on-line. Algorithmica 7, 433-464 (1992)