Планарные геометрические остовы: различия между версиями

С левой стороны изображено свойство <math>\alpha \;</math>-ромба. По меньшей мере один из треугольников <math>\Delta_1 \;</math> и <math>\Delta_2 \;</math> не содержит внутри точек множества S. Справа проиллюстрировано свойство d-хорошего многоугольника. p и q – две вершины на одной и той же грани f, которые видят друг друга. По меньшей мере один из двух путей между p и q вдоль границы f имеет длину, не превышающую d|pq|

Теорема 3. Пусть <math>\alpha \in (0, \pi / a) \;</math> и <math>d \ge 1 \;</math> – вещественные числа, а G – плоский граф, удовлетворяющий свойствам <math>\alpha \;</math>-ромба и d-хорошего многоугольника. В таком случае граф G является t-остовом для множества вершин G, где t = %{n-a)2d a2 sin2 (a/4).

В качестве примера нетрудно показать, что триангуляция Делоне удовлетворяет свойству <math>\alpha \;</math>-ромба при <math>\alpha \;</math> = ж/4. Дрисдейл и др. [ ] показали, что триангуляция с минимальным весом удовлетворяет свойству <math>\alpha \;</math>-ромба при <math>\alpha \;</math> = ж/4:6. Наконец, у Ли [ ] было показано, что жадная триангуляция удовлетворяет свойству <math>\alpha \;</math>-ромба при <math>\alpha \;</math> = л /6. Разумеется, любая триангуляция удовлетворяет свойству d-хорошего многоугольника при d = 1.

Теорема 4. Пусть S – множество n точек на плоскости. Триангуляция Делоне для множества S содержит подграф с максимальной степенью не выше 17, являющийся t-остовом S для некоторого константного t. Если имеется триангуляция Делоне, этот подграф можно построить за время O(n).

Теорема 5. Пусть S – множество из n точек на плоскости, 2 (0, л /2) – вещественное число, а G – триангуляция S, удовлетворяющая свойству <math>\alpha \;</math>-ромба. Тогда G содержит подграф с максимальной степенью не выше 14 + \2ж/а], являющийся t-остовом S, где t зависит только от a. Если имеется триангуляция G, этот подграф можно построить за время O(n).