Планарные геометрические остовы: различия между версиями

Дас и Джозеф [9] следующим образом обобщили утверждение теоремы 1 (см. рисунок). Пусть G – плоский граф с множеством вершин S, а a – вещественное число, 0 < a < л/2. Для любого ребра e графа G обозначим за A\ и Ai два равнобедренных треугольника с основанием e и углом при основании a. Ребро e удовлетворяет свойству a-ромба, если по меньшей мере один из треугольников A\ и Л 2 не содержит внутри точек множества S. Плоский граф G удовлетворяет свойству a-ромба, если каждое ребро e графа G удовлетворяет этому свойству. Для вещественного числа d > 1 граф G удовлетворяет свойству d-хорошего многоугольника, если для каждой грани f графа G и для каждых двух вершин p и q на границе f, таких, что соединяющий их отрезок прямой полностью находится в f, длина пути между p и q вдоль границы f не превышает d|pq|. Дас и Джозеф [9] доказали, что любой плоский граф, удовлетворяющий одновременно свойству a-ромба и свойству d-хорошего многоугольника, является t-остовом для некоторого вещественного числа t, которое зависит только от a и d. Значение t было несколько улучшено Ли [13]:

С левой стороны изображено свойство a-ромба. По меньшей мере один из треугольников A\ Л 2 не содержит внутри точек множества S. Справа проиллюстрировано свойство d-хорошего многоугольника. p и q – две вершины на одной и той же грани f, которые видят друг друга. По меньшей мере один из двух путей между p и q вдоль границы f имеет длину, не превышающую d|pq|

Теорема 3. Пусть a 2 (0 it /2) и d > 1 – вещественные числа, а G – плоский граф, удовлетворяющий свойствам a-ромба и d-хорошего многоугольника. В таком случае граф G является t-остовом для множества вершин G, где t = %{n-a)2d a2 sin2 (a/4).

В качестве примера нетрудно показать, что триангуляция Делоне удовлетворяет свойству a-ромба при a = ж/4. Дрисдейл и др. [ ] показали, что триангуляция с минимальным весом удовлетворяет свойству a-ромба при a = ж/4:6. Наконец, у Ли [ ] было показано, что жадная триангуляция удовлетворяет свойству a-ромба при a = л /6. Разумеется, любая триангуляция удовлетворяет свойству d-хорошего многоугольника при d = 1.

Теорема 5. Пусть S – множество из n точек на плоскости, 2 (0, л /2) – вещественное число, а G – триангуляция S, удовлетворяющая свойству a-ромба. Тогда G содержит подграф с максимальной степенью не выше 14 + \2ж/а], являющийся t-остовом S, где t зависит только от a. Если имеется триангуляция G, этот подграф можно построить за время O(n).