Геометрическая протяженность геометрических сетей: различия между версиями

Следующий результат задает верхнюю и нижнюю границы A(S).

'''Теорема 3 [4]. Для каждого конечного множества точек S выполняется соотношение <math>\Delta(S) < 1.678 \;</math>.'''

Для доказательства верхней границы заменим каждую вершину шестиугольной черепицы <math>\mathbb{R}^2 \;</math> определенной замкнутой кривой Зиндлера (по определению, все пары точек, делящие пополам периметр кривой Зиндлера, находятся на одинаковом расстоянии). В результате получаем сеть <math>G_F \;</math> с геометрической протяженностью, приблизительно равной 1,6778, см. рис. 3. Пусть дано конечное множество точек S. Применим небольшую деформацию к масштабированной версии <math>G_F \;</math>, такую, чтобы все точки S лежали в конечной части, G, деформированного множества. Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными, достаточно выполнить деформацию, малую относительно размера ячейки, так что на протяженность она не повлияет. Определение и свойства кривых Зиндлера см. в [8].