4446
правок
Геометрическая протяженность геометрических сетей: различия между версиями
Материал из WEGA
Геометрическая протяженность геометрических сетей (посмотреть исходный код)
Версия от 22:25, 17 января 2018
, 17 января 2018→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 28: | Строка 28: | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Теорема 1 [4]. Обозначим за | '''Теорема 1 [4]. Обозначим за <math>S_n \;</math> множество углов правильного n-угольника. Тогда <math>\Delta(S_3) = 2 / \sqrt{3}, \Delta(S_4) = \sqrt{2}, \Delta(S_n) = \pi / 2 \;</math> для всех <math>n \ge 5 \;</math>.''' | ||
Сети, в которых достигаются такие минимальные значения, изображены на рис. 1. В доказательстве минимальности используются следующие две леммы, которые интересны и сами по себе. Лемма 1 была независимо получена Ароновым и др. [1]. | Сети, в которых достигаются такие минимальные значения, изображены на рис. 1. В доказательстве минимальности используются следующие две леммы, которые интересны и сами по себе. Лемма 1 была независимо получена Ароновым и др. [1]. | ||
[[Файл:GDGN_1.png]] | |||
Рисунок 1. Вложения с минимальной протяженностью в регулярные множества точек | |||
Лемма 1. Пусть T – дерево, содержащее Sn. Тогда S(T) > nln. | Лемма 1. Пусть T – дерево, содержащее Sn. Тогда S(T) > nln. | ||
| Строка 39: | Строка 43: | ||
Лемма 2 следует из результата, полученного Громовым [7]. Ее проще доказать при помощи формулы Коши для расчета площади поверхности [4]. | Лемма 2 следует из результата, полученного Громовым [7]. Ее проще доказать при помощи формулы Коши для расчета площади поверхности [4]. | ||
Лемма 2. Обозначим за C простую замкнутую кривую на плоскости. Тогда S(C) > nil. | Лемма 2. Обозначим за C простую замкнутую кривую на плоскости. Тогда S(C) > nil. | ||
