Задача присваивания: различия между версиями

Действительно, заметим, что сумма меток является верхней границей веса паросочетания с максимальным весом. Алгоритм последовательно находит паросочетание и допустимую разметку, такие, что вес паросочетания оказывается равен сумме всех меток.

Стоит отметить следующее свойство данного алгоритма:

Поскольку метки в S уменьшаются, ребра (в графе G), ведущие из S в <math>\bar{T}</math>, потенциально могут попасть в подграф равенства <math>G_{ \ell}\;</math>. По мере увеличения значения <math>\lambda \;</math> в какой-то момент ребро окажется в подграфе равенства. В этот момент процесс следует остановить и обновить венгерское дерево. Если вершина из <math>\bar{T}</math>, добавленная к T, сопоставлена с вершиной из <math>\bar{S}</math>, обе эти вершины перемещаются в S и T, что увеличивает размер венгерского дерева. Если вершина из <math>\bar{T}</math> свободна, то дополняющий путь найден и данный этап завершен. Этап состоит из таких шагов, выполненных между приращениями размера паросочетания. Поскольку в G всего n вершин, у алгоритма будет не более n этапов, поскольку на каждом этапе размер паросочетания увеличивается на 1. В рамках каждого этапа размер венгерского дерева увеличивается не более n раз. Очевидно, что за время <math>O(n^2) \;</math> можно обнаружить, какое ребро, ведущее из S в <math>\bar{T}</math>, первым войдет в подграф равенства (для этого нужно просто просмотреть все ребра). Общее время выполнения в таком случае составит <math>O(n^4) \;</math>. Теперь покажем, как реализовать это подход за время <math>O(n^3) \;</math>.