Аноним

Супердерево максимального соответствия: различия между версиями

Материал из WEGA
м
Строка 22: Строка 22:




'''Лемма 1 ([8]). Для любого множества <math>D = \{ T_1, T_2, ..., T_k \} \;</math> корневых неупорядоченных деревьев с уникальными метками листьев, таких, что <math>\Lambda(T_1) = \Lambda(T_2) = ... = \Lambda(T_k) \;</math>, оптимальное решение задачи MASP для D является оптимальным решением задачи MAST для D, и наоборот.'''
'''Лемма 1 ([8])'''. Для любого множества <math>D = \{ T_1, T_2, ..., T_k \} \;</math> корневых неупорядоченных деревьев с уникальными метками листьев, таких, что <math>\Lambda(T_1) = \Lambda(T_2) = ... = \Lambda(T_k) \;</math>, оптимальное решение задачи MASP для D является оптимальным решением задачи MAST для D, и наоборот.




Строка 28: Строка 28:




'''Теорема 2. ([8]) Если k = 2 (имеются два дерева), супердерево максимального соответствия может быть найдено за время <math>O(T_{MAST} + n) \;</math>, где <math>T_{MAST} \;</math> – время, необходимое для вычисления поддерева максимального соответствия двух деревьев с O(n) листьями. Заметим, что <math>T_{MAST} = O( \sqrt{Dn} \; log(2n/D)) \;</math> (см. [9]).'''
'''Теорема 2. ([8])''' Если k = 2 (имеются два дерева), супердерево максимального соответствия может быть найдено за время <math>O(T_{MAST} + n) \;</math>, где <math>T_{MAST} \;</math> – время, необходимое для вычисления поддерева максимального соответствия двух деревьев с O(n) листьями. Заметим, что <math>T_{MAST} = O( \sqrt{Dn} \; log(2n/D)) \;</math> (см. [9]).


В [11] было приведено обобщение теоремы 2 и предложено следующее решение.
В [11] было приведено обобщение теоремы 2 и предложено следующее решение.




Теорема 3 ([1]). Для любого фиксированного k > 2 в случае, если каждый лист D встречается в 1 дереве либо в k деревьев, супердерево максимального соответствия может быть найдено за время <math>O(T'_{MAST} + kn) \;</math>, где <math>T'_{MAST} \;</math> – время, необходимое для вычисления поддерева максимального соответствия k деревьев с метками листьев из <math>\bigcap_{T_i \in D} \Lambda(T_i) \;</math>. Заметим, что <math>T'_{MAST} = O(km^3 + m^D) \;</math>, где <math>n = | \bigcap_{T_i \in D} \Lambda(T_i) | \;</math> (см. [4]).
'''Теорема 3 ([1])'''. Для любого фиксированного k > 2 в случае, если каждый лист D встречается в 1 дереве либо в k деревьев, супердерево максимального соответствия может быть найдено за время <math>O(T'_{MAST} + kn) \;</math>, где <math>T'_{MAST} \;</math> – время, необходимое для вычисления поддерева максимального соответствия k деревьев с метками листьев из <math>\bigcap_{T_i \in D} \Lambda(T_i) \;</math>. Заметим, что <math>T'_{MAST} = O(km^3 + m^D) \;</math>, где <math>n = | \bigcap_{T_i \in D} \Lambda(T_i) | \;</math> (см. [4]).




Следующие две теоремы доказывают, что в общем случае задача вычисления супердерева максимального соответствия является NP-полной.
Следующие две теоремы доказывают, что в общем случае задача вычисления супердерева максимального соответствия является NP-полной.
Теорема 4 ([8, 1]). Для любого фиксированного k > 3 задача MASP с неограниченной величиной D является NP-полной. Более того, задача MASP является NP-полной даже в случае, когда мы ограничиваемся корневыми триплетами. (Корневой триплет – это бинарное корневое неупорядоченное дерево с уникальными метками листьев, имеющее три листа).


'''Теорема 4 ([8, 1])'''. Для любого фиксированного <math>k \ge 3 \;</math> задача MASP с неограниченной величиной D является NP-полной. Более того, задача MASP является NP-полной даже в случае, когда мы ограничиваемся корневыми триплетами. (Корневой триплет – это бинарное корневое неупорядоченное дерево с уникальными метками листьев, имеющее три листа).


Теорема 5 ([1]). Задача MASP не может быть приближенно решена за полиномиальное время с константным множителем, если только не верно соотношение P = NP.
 
'''Теорема 5 ([1])'''. Задача MASP не может быть приближенно решена за полиномиальное время с константным множителем, если только не верно соотношение <math>\mathcal{P} = \mathcal{N} \mathcal{P}</math>.




4551

правка