Просмотр кода страницы Планирование с учетом наименьшего прошедшего времени обработки

== Ключевые слова и синонимы ==
Продолжительность пребывания; время отклика; составление расписания с неизвестными размерами заданий; алгоритм MLF; очереди с обратной связью

== Постановка задачи ==
Данная задача связана с планированием динамически поступающих заданий в сценарии, когда требования к обработке заданий планировщику неизвестны. Отсутствие знания о том, сколько времени займет выполнение задания, нередко встречается в реальных системах, где такую информацию может быть трудно или невозможно получить. Цель состоит в том, чтобы составить расписание заданий, обеспечивающее пользователям высокое качество обслуживания. В частности, целью является разработка алгоритмов, демонстрирующих хорошую среднюю производительность и являющихся справедливыми в том смысле, что ни одно подмножество пользователей не получает существенно более низкой производительности по сравнению с другими.

== Нотация ==
Обозначим за <math>\mathcal{J} = \{ 1, 2, ..., n \}</math> множество заданий во входном экземпляре задачи. Каждое задание j характеризуется временем высвобождения <math>r_j</math> и требованием к обработке <math>p_j</math>. В онлайновом режиме задание j сообщается планировщику только в момент времени <math>r_j</math>. Еще одним ограничением является режим ''с отсутствием предвидения'', в котором в момент <math>r_j</math> раскрывается только существование задания j; в частности, <math>p_j</math> планировщику неизвестно до тех пор, пока задание не выполнит свое требование к обработке и не покинет систему. Пусть имеется расписание; тогда время завершения <math>c_j</math> задания представляет собой самое раннее время, в которое задание j получает объем обслуживания <math>p_j</math>. Продолжительность потока <math>f_j</math> задания j определяется как <math>c_j - r_j</math>. Протяженность задания определяется как отношение продолжительности потока к его объему. Протяженностью также называют нормализованную продолжительность потока или его замедление, и она является естественной мерой справедливости, поскольку измеряет время ожидания задания на единицу полученного обслуживания. Расписание называется вытесняющим, если задание может быть прервано произвольно, и его выполнение может быть возобновлено позже с момента прерывания без каких-либо штрафов. Хорошо известно, что вытеснение необходимо для получения разумных гарантий продолжительности потока даже в оффлайновом режиме [5].


Вспомним, что онлайновый алгоритм Shortest Remaining Processing Time (SRPT), который в любой момент времени работает над заданием с наименьшим оставшимся временем обработки, является оптимальным для минимизации средней продолжительности потока. Однако алгоритм SRPT часто критикуют за то, что он может привести к «зависанию» заданий, в случае которого некоторые задания могут откладываться на неопределенное время. Например, рассмотрим последовательность, в которой задание размера 3 поступает в момент времени t = 0, а затем в течение длительного времени одно задание размера 1 поступает каждую единицу времени, начиная с t = 1. При использовании алгоритма SRPT задание размера 3 будет отложено до тех пор, пока не перестанут поступать задания размера 1. С другой стороны, если целью является минимизация максимальной продолжительности потока, то легко увидеть, что оптимальным алгоритмом является алгоритм First in First Out (FIFO). Однако FIFO может работать очень плохо с точки зрения средней продолжительности потока (например, множество маленьких заданий может застрять из-за очень большого задания, которое прибыло чуть раньше). Естественным способом сбалансировать среднюю и наихудшую производительность является рассмотрение <math>\ell_p</math>-норм продолжительности потока и протяженности, где <math>\ell_p</math>-норма последовательности <math>x_1, ..., x_n</math> определяется как <math>(\sum_i x^p_i)^{1/p}</math>.


Shortest Elapsed Time First (SETF) – это алгоритм без предвидения, который в любой момент времени работает над заданием, получившим на текущий момент наименьший объем обслуживания. Это естественный способ отдать предпочтение коротким заданиям в условиях отсутствия знания о размерах заданий. Фактически SETF представляет собой непрерывную версию алгоритма многоуровневой обратной связи (Multi-Level Feedback, MLF). К сожалению, SETF (или любой другой детерминированный алгоритм без предвидения) плохо работает в рамках конкурентного анализа, где алгоритм называется c-конкурентным, если для каждого входного экземпляра его производительность не более чем в ''c'' раз ниже, чем у оптимального автономного (обладающего предвидением) решения для этого экземпляра [7]. Однако конкурентный анализ может быть слишком пессимистичным в своих гарантиях. Способ обойти эту проблему был предложен Кальянасундарамом и Прусом [6], которые позволили онлайн-планировщику использовать немного более быстрый процессор, чтобы компенсировать отсутствие знаний о будущих поступлениях и размерах заданий. Алгоритм <math>Alg</math> является s-скоростным, c-конкурентным по скорости, где ''c'' – отношение наихудшего случая для всех экземпляров I, <math>Alg_s(I)/Opt_1(I)</math>, где <math>Alg_s</math> – значение решения, полученного <math>Alg</math> при использовании s-скоростного процессора, а <math>Opt_1</math> – оптимальное значение при использовании процессора с единичной скоростью. Как правило, наиболее интересные результаты получаются в случаях, когда ''c'' мало, а s = (1 + <math>\epsilon</math>) для любого произвольного <math>\epsilon > 0</math>.

== Основные результаты ==
В основополагающей работе [6] Кальянасундарам и Прус доказали следующие положения.


'''Теорема 1 [6]. SETF является <math>(1 + \epsilon)</math>-скоростным, <math>(1 + 1/\epsilon)</math>-конкурентным алгоритмом без предвидения для минимизации средней продолжительности потока на одной машине с вытеснением.'''

Для минимизации средней протяженности Мутукришнан, Раджараман, Шахин и Герке [8] рассмотрели формулировку задачи с предвидением и показали, что алгоритм SRPT является 2-конкурентным для одной машины и 14-конкурентным для нескольких машин. Формулировку без предвидения рассмотрели Бансал, Дхамдхере, Конеманн и Синха [1]. Они получили следующий результат:


'''Теорема 2 [1]. SETF является <math>(1 + \epsilon)</math>-скоростным, <math>O(log^2 P)</math>-конкурентным алгоритмом для минимизации средней растяжимости, где P – отношение максимального размера задания к минимальному. С другой стороны, даже при скорости O(1) любой алгоритм без предвидения является по меньшей мере <math>\Omega(log \; P)</math>-конкурентным. Любопытно, что с точки зрения ''n'' любой алгоритм без предвидения должен быть <math>\Omega(n)</math>-конкурентным даже при ускорении O(1). Более того, SETF является O(n)-конкурентным (даже без дополнительного ускорения).'''

'''Для специального случая, когда все задания поступают в момент времени 0, алгоритм SETF является оптимальным вплоть до константных коэффициентов. Он O(log P)-конкурентен (без дополнительного ускорения). Более того, любой алгоритм без предвидения должен быть <math>\Omega(log \; P)</math>-конкурентным даже при ускорении порядка O(1).'''


Ключевой идеей вышеприведенного результата является связь между алгоритмами SETF и SRPT. Во-первых, за счет (1 + <math>\epsilon</math>)-ускорения можно показать, что SETF не хуже MLF в случае, когда пороги имеют степень (1 + <math>\epsilon</math>). Во-вторых, поведение MLF на экземпляре ''I'' может быть связано с поведением алгоритма Shortest Job First (SJF) на другом экземпляре ''I''', полученном из ''I'' путем разделения каждого задания на логарифмическое число заданий с геометрически возрастающими размерами. Наконец, производительность SJF связана с SRPT при помощи еще одного ускорения с коэффициентом (1 + <math>\epsilon</math>).


Бансал и Прус [2] рассмотрели задачу минимизации <math>\ell_p</math>-норм продолжительности потока и растяжимости на одной машине. Они получили следующий результат:


'''Теорема 3 [2]. В постановке задачи с предвидением алгоритмы SRPT и SJF являются (1 + <math>\epsilon</math>)-скоростными, O(1/<math>\epsilon</math>)-конкурентными для минимизации <math>\ell_p</math>-норм времени потока и растяжимости. С другой стороны, для <math>1 < p < \infty</math> ни один онлайновый алгоритм (возможно, с предвидением) не может быть O(1)-конкурентным для минимизации <math>\ell_p</math>норм растяжимости или продолжительности потока без ускорения. В частности, любой рандомизированный онлайн-алгоритм является по меньшей мере <math>\Omega(n^{(p - 1) / 3p^2})</math>-конкурентным для <math>\ell_p</math>-норм растяжимости и по меньшей мере <math>\Omega(n^{(p - 1) / p (3p - 1)})</math>-конкурентным для <math>\ell_p</math>-норм продолжительности потока.'''


Вышеприведенные нижние границы несколько удивительны, поскольку SRPT и FIFO оптимальны для случая p = 1 и p = <math>\infty</math> для продолжительности потока.


Бансал и Прус [2] также рассматривают вариант задачи без предвидения.


'''Теорема 4 [2]. В постановке задачи без предвидения алгоритм SETF является <math>(1 + \epsilon)</math>-скоростным, <math>O(1 / \epsilon^{2 + 2/p})</math>-конкурентным для минимизации <math>\ell_p</math>-норм продолжительности потока. Для минимизации <math>\ell_p</math>-норм растяжимости SETF является <math>(1 + \epsilon)</math>-скоростным, <math>O(1 / \epsilon^{3 + 1/p} \cdot log^{1 + 1/p} P)</math>-конкурентным.'''


Наконец, Бансал и Прус также рассматривают алгоритм Round Robin (RR) или Processor Sharing, который в любой момент времени делит процессор поровну между незавершенными заданиями. Считается, что RR является идеальной справедливой стратегией, поскольку одинаково относится ко всем незавершенным заданиям. Тем не менее, они показали следующий результат:


'''Теорема 5. Для любого <math>p \ge 1</math> существует <math>\epsilon > 0</math>, такое, что даже при наличии в <math>(1 + \epsilon)</math> раз более быстрого процессора алгоритм RR не является <math>n^{o(1)}</math>-конкурентным для минимизации <math>\ell_p</math>-норм продолжительности потока. В частности, для <math>\epsilon < 1/2p</math> алгоритм RR является <math>(1 + \epsilon)</math>-скоростным, <math>\Omega(n^{(1 - 2 \epsilon p)/p})</math>-конкурентным. Для <math>\ell_p</math>-норм растяжимости RR является <math>\Omega(n)</math>-конкурентным, как и фактически любой рандомизированный алгоритм без предвидения.'''


Приведенные выше результаты были расширены по нескольким направлениям. Бансал и Прус [2] распространили эти результаты на ''взвешенные'' <math>\ell_p</math>-нормы продолжительности потока и растяжимости. Чекури, Ханна, Кумар и Гель [4] распространили их результаты на случай нескольких машин. Их алгоритмы особенно элегантны: каждое задание назначается некоторой машине случайным образом, и все задания на определенной машине обрабатываются с помощью алгоритма SRPT или SETF (в зависимости от применимости).

== Применение ==
Алгоритм SETF и его варианты, такие как MLF, широко используются в операционных системах [9, 10]. Отметим, что SETF не совсем практичен, поскольку каждое задание может вытесняться бесконечное число раз. Однако варианты SETF с меньшим числом вытеснений довольно популярны.

== Открытые вопросы ==
Было бы любопытно исследовать другие понятия справедливости в контексте динамического планирования. В частности, хотелось бы рассмотреть алгоритмы, одновременно являющиеся справедливыми и имеющие хорошую среднюю производительность.


Наиболее первоочередная задача заключается в том, можно ли сократить разрыв между <math>O(log^2 P)</math> и <math>\Omega(log \; P)</math> для минимизации средней растяжимости в формулировке без предвидения.

== См. также==
* [[Минимизация продолжительности потока]]
* [[Минимальная продолжительность потока]]
* [[Многоуровневые очереди с обратными связями]]

== Литература ==
1.	Bansal, N., Dhamdhere, K., Konemann, J., Sinha, A.: Non-Clairvoyant Scheduling for Minimizing Mean Slowdown. Algorithmica 40(4), 305-318 (2004)

2.	Bansal, N., Pruhs, K.: Server scheduling in the Lp norm: a rising tide lifts all boat. In: Symposium on Theory of Computing, STOC, pp. 242-250 (2003)

3.	Bansal, N., Pruhs, K.: Server scheduling in the weighted Lp norm. In: LATIN, pp.434-443 (2004)

4.	Chekuri, C., Goel, A., Khanna, S., Kumar, A.: Multi-processor scheduling to minimize flow time with epsilon resource augmentation. In: Symposium on Theory of Computing, STOC, pp. 363-372 (2004)

5.	Kellerer, H., Tautenhahn, T., Woeginger, G.J.: Approximability and Nonapproximability Results for Minimizing Total Flow Time on a Single Machine. SIAM J. Comput. 28(4), 1155-1166 (1999)

6.	Kalyanasundaram, B., Pruhs, K.: Speed is as powerful as clairvoyance. J. ACM 47(4), 617-643 (2000)

7.	Motwani, R., Phillips, S., Torng, E.: Non-Clairvoyant Scheduling. Theor. Comput. Sci. 130(1), 17-47 (1994)

8.	Muthukrishnan, S., Rajaraman, R., Shaheen, A., Gehrke, J.: Online Scheduling to Minimize Average Stretch. SIAM J. Comput. 34(2),433-452(2004)

9.	Nutt, G.: Operating System Projects Using Windows NT. Addison Wesley, Reading (1999)

10. Tanenbaum, A.S.: Modern Operating Systems. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs (1992)