Просмотр кода страницы Полностью динамическая связность высоких степеней

== Ключевые слова и синонимы ==
'''Полностью динамическая связность высоких степеней''' --- ''Fully Dynamic Higher Connectivity''

Полностью динамическая реберная связность (''Fully dynamic edge connectivity''); полностью динамическая вершинная связность (''Fully dynamic vertex connectivity'')

== Постановка задачи ==
Задача заключается в эффективной поддержке информации о реберной и вершинной связности в динамически меняющемся графе.


Пусть даны неориентированный граф G = (V, E) и целое число <math>k \ge 2</math>. Пара вершин {u, v} называется [[k-реберная связность|k-реберно-связной]], если при удалении любых (k — 1) ребер графа G вершины u и v остаются связанными. Нетрудно заметить, что в данном случае имеет место отношение эквивалентности: вершины графа G этим отношением разбиваются на классы эквивалентности, называемые k-реберно-связными компонентами. Граф G называется k-реберно-связным, если при удалении любых (k — 1) ребер G сохраняет связность. Согласно этим определениям, граф G является k-реберно-связным в том и только том случае, если любые две вершины G являются k-реберно-связными. Множество ребер <math>E' \subseteq E \; </math> является [[реберный разрез|реберным разрезом]] для вершин x и y, если удаление всех ребер, входящих в E', разбивает G на два графа, один из которых содержит x, а другой – y. Множество ребер <math>E' \subseteq E \; </math> является реберным разрезом для G, если удаление всех ребер, входящих в E', разбивает G на два графа. Реберный разрез E' графа G (для x и y, соответственно) является минимальным, если удаление любого ребра из E' восстанавливает связность G (x и y, соответственно). Мощность реберного разреза E', обозначаемая |E'|, задается числом ребер в E'. Реберный разрез E' графа G (вершин x и y, соответственно) называется реберным разрезом минимальной мощности или, вкратце, [[реберный разрез связности|реберным разрезом связности]], если не существует другого реберного разреза E" графа G (x и y, соответственно), такого, что |E"| < |E'|. Реберные разрезы связности, разумеется, являются минимальными реберными разрезами. Заметим, что G является k-реберно-связным в том и только том случае, если реберный разрез связности для G содержит не менее k ребер, а вершины x и y являются k-реберно-связными в том и только том случае, если реберный разрез связности для x и y содержит не менее k ребер. Реберный разрез связности, мощность которого равна 1, называется [[мост|мостом]].
 

Следующая теорема, которую предложили Форд и Фулкерсон, а также Элиас, Файнштайн и Шеннон [7], дает еще одну характеристику k-реберной-связности.


'''Теорема 1 (Форд и Фулкерсон; Элиас, Файнштайн и Шеннон). Пусть даны граф G и две вершины x и y, принадлежащие G. Вершины x и y являются k-реберно-связными в том и только том случае, если между x и y имеется не менее k путей с непересекающимися ребрами.'''


Подобным же образом, множество вершин <math>V' \subseteq V - \{ x, y \}</math> называется [[вершинный разрез|вершинным разрезом]] для вершин x и y, если удаление всех вершин V' разрывает связь между x и y. <math>V' \subseteq V \;</math> является вершинным разрезом для вершин графа G, если удаление всех вершин V' разбивает G.


Мощность вершинного разреза V', обозначаемая |V'|, задается числом ребер в V'. Вершинный разрез V' для x и y называется вершинным разрезом минимальной мощности или, вкратце, [[вершинный разрез связности|вершинным разрезом связности]], если не существует другого вершинного разреза V" для x и y, такого, что |V"| < |V'|. Тогда x и y являются k-вершинно-связными в том и только том случае, если вершинный разрез связности для x и y содержит не менее k вершин. Граф G называется [[k-вершинная связность|k-вершинно-связным]], если все его пары вершин являются k-вершинно-связными. Вершинный разрез связности, мощность которого равна 1, называется [[точка сочленения|точкой сочленения]]; вершинный разрез связности мощности 2 называется [[пара разделителей|парой разделителей]]. Заметим, что для связности по вершинам уже неверно утверждение о том, что вершинный разрез связности разбивает граф G на два множества вершин.


Следующая теорема, предложенная Менгером [7], дает еще одну характеристику k-вершинной связности.


'''Теорема 2 (Менгер). Пусть даны граф G и две вершины x и y, принадлежащие G. Вершины x и y являются k-вершинно-связными в том и только том случае, если между x и y имеется не менее k вершинно-непересекающихся путей.'''


Динамический алгоритм на графе поддерживает заданное свойство P графа, подверженного динамическим изменениям – таким как вставка ребра, удаление ребра и обновление веса ребра. Динамический алгоритм должен быстро обрабатывать запросы о свойстве P, а также выполнять операции обновления быстрее, чем вычислять то же самое с нуля при помощи самого быстрого статического алгоритма. Алгоритм называется [[полностью динамический алгоритм|полностью динамическим]], если он поддерживает как вставку ребер, так и удаление ребер. [[Частично динамический алгоритм]] поддерживает либо вставку, либо удаление ребер; [[инкрементный алгоритм]] поддерживает только вставку ребер, [[декрементный алгоритм|декрементный]] – только удаление.


В полностью динамической задаче k-реберной связности нам требуется поддержка неориентированного графа G = (V, E) и выполнение последовательности следующих операций в различном порядке:

•	k-EdgeConnected(u, v): возвращает значение «истинно», если вершины u и v принадлежат к одной и той же k-реберно-связной компоненте графа, в противном случае возвращает значение «ложно».

•	Insert(x, y): вставляет новое ребро между вершинами x и y.

•	Delete(x,y): удаляет ребро между вершинами x и y.


В полностью динамической задаче k-вершинной связности нам требуется поддержка неориентированного графа G = (V, E) и выполнение последовательности следующих операций в различном порядке:

•	k-VertexConnected(u, v): возвращает значение «истинно», если вершины u и v принадлежат к одной и той же k-вершинно-связной компоненте графа, в противном случае возвращает значение «ложно».

•	Insert(x, y): вставляет новое ребро между вершинами x и y.

•	Delete(x,y): удаляет ребро между вершинами x и y.

== Основные результаты ==
Наиболее эффективные на данный момент полностью динамические алгоритмы вычисления k-реберной и k-вершинной связности были предложены в работах [3] и [12]. Время исполнения характеризуется следующими теоремами.


Теорема 3. Полностью динамическая задача k-реберной связности может быть решена за время:

1.	<math>O(log^4 \; n)</math> на одно обновление и <math>O(log^3 \; n)</math> на один запрос для k = 2

2.	<math>O(n^{2/3}) \; </math> на одно обновление или один запрос для k = 3

3.	<math>O(n \alpha (n)) \; </math> на одно обновление или один запрос для k = 4

4.	<math>O(n \; log \; n)</math> на одно обновление или один запрос для k > 5.


Теорема 4. Полностью динамическая задача k-вершинной связности может быть решена за время:

1.	<math>O(log^4 \; n)</math> на одно обновление и <math>O(log^3 \; n)</math> на один запрос для k = 2

2.	<math>O(n) \; </math> на одно обновление или один запрос для k = 3

3.	<math>O(n \alpha (n)) \; </math> на одно обновление или один запрос для k = 4.

== Применение ==
Задачи вершинной и реберной связности часто возникают в вопросах, связанных с надежностью и живучестью сетей. В компьютерных сетях вершинная связность графов, лежащих в их основе, соответствует наименьшему числу узлов, падение которых еще не приведет к потере связности всей сети. Подобным же образом, реберная связность графов соответствует наименьшему числу связей, падение которых еще не вызовет потери связности всей сети. Аналогично, если две вершины являются k-вершинно-связными, они останутся связанными даже при отказе до (k – 1) других вершин, а если они являются k-реберно-связными, они «переживут» отказ до (k – 1) связей. Важно изучать динамические версии этих задач в контекстах, где сети динамически меняются – например, в случаях, когда связи могут нарушаться и восстанавливаться из-за отказов и ремонтов.
 
== Открытые вопросы ==
Эпстайн и коллеги [3], а также Холм и коллеги [12] поднимают интересные вопросы. Во-первых, если эффективные динамические алгоритмы вычисления k-реберной связности для общих значений k известны, то для вычисления k-вершинной связности при <math>k \ge 5 \; </math> эффективных полностью динамических алгоритмов еще не создано – более того, нет даже статических.  Во-вторых, полностью динамические задачи 2-реберной и 2-вершинной связности могут быть решены за полилогарифмическое время на одно обновление, тогда как наилучшие известные границы обновления для реберной и вершинной связности более высоких степеней являются полиномиальными. Остается открытым вопрос, можно ли сократить этот разрыв – иначе говоря, можно ли разработать полилогарифмические алгоритмы для полностью динамических задач 3-реберной и 3-вершинной связности.

== См. также ==
* ''[[Динамические деревья]]
* ''[[Полностью динамический алгоритм нахождения кратчайших путей между всеми парами]]
* ''[[Полностью динамическая связность]]
* ''[[Полностью динамическая высокая связность в планарных графах]]
* ''[[Полностью динамические минимальные остовные деревья]]
* ''[[Полностью динамическая проверка на планарность]]
* ''[[Полностью динамический алгоритм транзитивного замыкания]]

== Литература ==
1.	Dinitz, E.A.: Maintaining the 4-edge-connected components of a graph on-line. In: Proc. 2nd Israel Symp. Theory of Computing and Systems, 1993, pp. 88-99

2.	Dinitz, E.A., Karzanov A.V., Lomonosov M.V.: On the structure of the system of minimal edge cuts in a graph. In: Fridman, A.A. (ed) Studies in Discrete Optimization, pp. 290-306. Nauka, Moscow (1990). In Russian

3.	Eppstein, D., Galil Z., Italiano G.F., Nissenzweig A.: Sparsification - a technique for speeding up dynamic graph algorithms. J. Assoc. Comput. Mach. 44(5), 669-696 (1997)

4.	Frederickson, G.N.: Ambivalent data structures for dynamic 2-edge-connectivity and k smallest spanning trees. SIAM J. Comput. 26(2), 484-538 (1997)

5.	Galil, Z., Italiano, G. F.: Fully dynamic algorithms for 2-edge-connectivity. SIAM J. Comput. 21,1047-1069 (1992)

6.	Galil, Z., Italiano, G.F.: Maintaining the 3-edge-connected components of a graph on-line. SIAM J. Comput. 22,11-28 (1993) Harary, F.: Graph Theory. Addison-Wesley, Reading (1969)

7.	Harary, F.: Graph Theory. Addison-Wesley, Reading (1969)

8.	Henzinger, M.R.: Fully dynamic biconnectivity in graphs. Algorithmica 13(6), 503-538 (1995)

9.	Henzinger, M.R.: Improved data structures for fully dynamic biconnectivity. SIAM J. Comput. 29(6), 1761–1815 (2000)

10.	Henzinger, M., King V.: Fully dynamic biconnectivity and transitive closure. In: Proc. 36th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS'95), 1995, pp. 664-672

11.	Henzinger, M.R., King, V.: Randomized fully dynamic graph algorithms with polylogarithmic time per operation. J. ACM 46(4),502-516(1999)

12.	Holm, J., de Lichtenberg, K., Thorup, M.: Poly-logarithmic deterministic fully-dynamic algorithms for connectivity, minimum spanning tree, 2-edge, and biconnectivity. J. ACM 48,723-760 (2001)

13.	Karzanov, A.V., Timofeev, E. A.: Efficient algorithm for finding all minimal edge cuts of a nonoriented graph. Cybernetics 22, 156-162(1986)

14.	La Poutre, J.A.: Maintenance of triconnected components of graphs. In: Proc. 19th Int. Colloquium on Automata, Languages and Programming. Lecture Notes in Computer Science, vol. 623, pp. 354-365. Springer, Berlin (1992)

15.	La Poutre, J.A.: Maintenance of 2- and 3-edge-connected components of graphs II. SIAM J. Comput. 29(5), 1521 -1549 (2000)

16.	La Poutre, J.A., van Leeuwen, J., Overmars, M.H.: Maintenance of 2- and 3-connected components of graphs, part I: 2- and 3-edge-connected components. Discret. Math. 114, 329-359 (1993)

17.	La Poutre, J.A., Westbrook, J.: Dynamic two-connectivity with backtracking. In: Proc. 5th ACM-SIAM Symp. Discrete Algorithms, 1994, pp. 204-212

18.	Westbrook, J., Tarjan, R.E.: Maintaining bridge-connected and biconnected components on-line. Algorithmica 7, 433-464 (1992)


[[Категория: Совместное определение связанных терминов]]