Независимые множества матроида: различия между версиями
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| (не показана 1 промежуточная версия этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Независимые множества матроида''' (''[[Independent sets of a matroid]]'') | '''Независимые множества матроида''' (''[[Independent sets of a matroid]]'') — | ||
семейство <math>{\mathcal I}</math> подмножеств элементов из <math>E</math>, удовлетворяющих | семейство <math>{\mathcal I}</math> подмножеств элементов из <math>\,E</math>, удовлетворяющих | ||
следующим аксиомам: | следующим аксиомам: | ||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
(I1) если <math>X \in {\mathcal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\mathcal I}</math>; | (I1) если <math>X \in {\mathcal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\mathcal I}</math>; | ||
(I2) если <math>X, \, Y</math> | (I2) если <math>X, \, Y</math> — элементы из <math>{\mathcal I}</math> такие, что <math>\,|X| = |Y| + | ||
1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in | 1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in | ||
{\mathcal I}</math>. | {\mathcal I}</math>. | ||
Подмножество из <math>E</math>, не принадлежащее <math>{\mathcal I}</math>, называется | Подмножество из <math>\,E</math>, не принадлежащее <math>{\mathcal I}</math>, называется | ||
зависимым | ''зависимым''. | ||
Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять | Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять | ||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
эквивалентные (I2): | эквивалентные (I2): | ||
(I'2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math> | (I'2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>\,|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math> | ||
существует элемент <math>x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\mathcal I}</math>. | существует элемент <math>\,x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\mathcal I}</math>. | ||
(I"2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X</math> существует | (I"2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>\,|Y| < |X|</math>, то в <math>\,X</math> существует | ||
такое подмножество <math>Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y \cup Z| = | такое подмножество <math>\,Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y \cup Z| = | ||
|X|</math>. | |X|</math>. | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
* Лекции по теории графов / В.А.Емеличев, О.И.Мельников, В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. — М.: Наука, 1990. | |||
* Welsh D.J.A. Matroid Theory. — New York: Academic Press, 1976. | |||
Текущая версия от 16:09, 17 мая 2011
Независимые множества матроида (Independent sets of a matroid) — семейство [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] подмножеств элементов из [math]\displaystyle{ \,E }[/math], удовлетворяющих следующим аксиомам:
(I0) [math]\displaystyle{ \emptyset \in {\mathcal I} }[/math];
(I1) если [math]\displaystyle{ X \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math], то [math]\displaystyle{ Y \in {\mathcal I} }[/math];
(I2) если [math]\displaystyle{ X, \, Y }[/math] — элементы из [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ \,|X| = |Y| + 1 }[/math], то существует [math]\displaystyle{ x \in X \setminus Y }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].
Подмножество из [math]\displaystyle{ \,E }[/math], не принадлежащее [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math], называется зависимым.
Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять (I1) (I2). Кроме того, существуют варианты аксиомы (I'2), (I2), эквивалентные (I2):
(I'2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ \,|Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ X \setminus Y }[/math] существует элемент [math]\displaystyle{ \,x }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].
(I"2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ \,|Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ \,X }[/math] существует такое подмножество [math]\displaystyle{ \,Z }[/math], что [math]\displaystyle{ Y \cup Z \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y \cup Z| = |X| }[/math].
Литература
- Лекции по теории графов / В.А.Емеличев, О.И.Мельников, В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. — М.: Наука, 1990.
- Welsh D.J.A. Matroid Theory. — New York: Academic Press, 1976.