Просмотр кода страницы Замкнутое полукольцо

'''Замкнутое полукольцо''' (''[[Closed semiring]]'') — полукольцо <math>S</math> с двумя дополнительными свойствами: (а) если <math>a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots</math> есть счетная
последовательность элементов <math>S</math>, то существует и является единственной сумма 

:::::<math>a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots,</math> 

причем порядок, в котором производится сложение различных элементов, несуществен; (б) операция умножения "<math>\cdot</math>" дистрибутивна относительно конечных и счетно-бесконечных сумм. На замкнутых полукольцах может быть определена унарная операция, называемая замыканием. Пусть
<math>a</math> — некоторый элемент из <math>S</math>; тогда степени <math>a</math> могут
быть определены следующим образом: 

:::::::<math>a^{0} = 1;</math> 

:::::<math>a^{n} =
a \cdot a^{n-1}\mbox{ для всех } n > 0.</math> 

Тогда замыкание
<math>a^{\ast}</math> можно определить как 

:::::<math>a^{\ast} = 1 + a + a^{2} +
\ldots + a^{n} + \ldots.</math> 

Из свойств полуколец вытекает,
что 

:::::<math>a^{\ast} = 1 + a \cdot a^{\ast}.</math>

Замкнутые полукольца находят применения в различных областях вычислительной техники: в теории автоматов, теории грамматик, теории рекурсии и неподвижных точек, последовательных машинах, матричной обработке, а также в решении различных задач теории графов, например при разработке [[алгоритм|алгоритмов]] нахождения [[кратчайший путь|кратчайших путей]], транзитивного замыкания и др.
==Литература==
* Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. —  М.: Мир, 1979.

* Толковый словарь по вычислительным системам. — М.: Машиностроение, 1991.